Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} 3 x & 5 - 1 & 4 x \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 y & - 3 - 6 & - y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 7 & 2 - 7 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 x & 5 \\ - 1 & 4 x \end{array}] [\begin{array}{c} 2 y & - 3 \\ - 6 & - y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & 2 \\ - 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere

[\begin{matrix} 3 x & 5 - 1 & 4 x \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 y & - 3 - 6 & - y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 x & 5 \\ - 1 & 4 x \end{array}] [\begin{array}{c} 2 y & - 3 \\ - 6 & - y \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

2 \times 2

$2 \times 2$ and the second matrix is

2 \times 2

$2 \times 2$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

[\begin{matrix} 3 x (2 y) + 5 \cdot - 6 & 3 x \cdot - 3 + 5 (- y) - (2 y) + 4 x \cdot - 6 & - - 3 + 4 x (- y) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 7 & 2 - 7 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 x (2 y) + 5 \cdot - 6 & 3 x \cdot - 3 + 5 (- y) \\ - (2 y) + 4 x \cdot - 6 & - - 3 + 4 x (- y) \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & 2 \\ - 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 3

$- 3$ .

[\begin{matrix} 6 x y - 30 & - 9 x - 5 y - 2 y - 24 x & 3 + 4 x (- y) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 7 & 2 - 7 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 6 x y - 30 & - 9 x - 5 y \\ - 2 y - 24 x & 3 + 4 x (- y) \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & 2 \\ - 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

[\begin{matrix} 6 x y - 30 & - 9 x - 5 y - 2 y - 24 x & 3 + 4 \cdot - 1 x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 7 & 2 - 7 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 6 x y - 30 & - 9 x - 5 y \\ - 2 y - 24 x & 3 + 4 \cdot - 1 x y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & 2 \\ - 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 x y - 30 & - 9 x - 5 y \\ - 2 y - 24 x & 3 - 4 x y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & 2 \\ - 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

$6 x y - 30 = 7$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Löse in

$6 x y - 30 = 7$ nach

$x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Addiere

$30$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x y = 7 + 30$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.1.1.2

Addiere

$7$ und

$30$ .

$6 x y = 37$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

$6 x y = 37$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in

$6 x y = 37$ durch

$6 y$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$6 x y = 37$ durch

$6 y$ .

$\frac{6 x y}{6 y} = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$6$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x y}{6 y} = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y}{y} = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

$\frac{x y}{y} = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$y$ .

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Schritt 3.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{y} = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 9 x - 5 y = 2$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von

$x$ durch

$\frac{37}{6 y}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle

$x$ in

$- 9 x - 5 y = 2$ durch

$\frac{37}{6 y}$ .

$- 9 \frac{37}{6 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Faktorisiere

$3$ aus

$- 9$ heraus.

$3 (- 3) (\frac{37}{6 y}) - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Faktorisiere

$3$ aus

$6 y$ heraus.

$3 (- 3) (\frac{37}{3 (2 y)}) - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot (- 3 \frac{37}{3 (2 y)}) - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \frac{37}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

$- 3 \frac{37}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.2.1.2

Kombiniere

$- 3$ und

$\frac{37}{2 y}$ .

$\frac{- 3 \cdot 37}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$37$ .

$\frac{- 111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- 2 y - 24 x = - 7$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle

$x$ in

$- 2 y - 24 x = - 7$ durch

$\frac{37}{6 y}$ .

$- 2 y - 24 \frac{37}{6 y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$6$ .

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Schritt 3.2.4.1.1.1

Faktorisiere

$6$ aus

$- 24$ heraus.

$- 2 y + 6 (- 4) (\frac{37}{6 y}) = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.4.1.1.2

Faktorisiere

$6$ aus

$6 y$ heraus.

$- 2 y + 6 (- 4) (\frac{37}{6 (y)}) = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 y + 6 \cdot (- 4 \frac{37}{6 y}) = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.4.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 2 y - 4 \frac{37}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

$- 2 y - 4 \frac{37}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.4.1.2

Kombiniere

$- 4$ und

$\frac{37}{y}$ .

$- 2 y + \frac{- 4 \cdot 37}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.4.1.3

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$37$ .

$- 2 y + \frac{- 148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.4.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 4 x y = 2$

Schritt 3.2.5

Ersetze alle

$x$ in

$3 - 4 x y = 2$ durch

$\frac{37}{6 y}$ .

$3 - 4 \frac{37}{6 y} \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.6.1

Vereinfache

$3 - 4 \frac{37}{6 y} \cdot y$ .

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Schritt 3.2.6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 3.2.6.1.1.1.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 4$ heraus.

$3 + 2 (- 2) (\frac{37}{6 y}) \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.1.1.2

Faktorisiere

$2$ aus

$6 y$ heraus.

$3 + 2 (- 2) (\frac{37}{2 (3 y)}) \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + 2 \cdot (- 2 \frac{37}{2 (3 y)}) \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$3 - 2 \frac{37}{3 y} \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - 2 \frac{37}{3 y} \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.1.2

Kombiniere

$- 2$ und

$\frac{37}{3 y}$ .

$3 + \frac{- 2 \cdot 37}{3 y} \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.1.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$37$ .

$3 + \frac{- 74}{3 y} \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$y$ .

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Schritt 3.2.6.1.1.4.1

Faktorisiere

$y$ aus

$3 y$ heraus.

$3 + \frac{- 74}{y \cdot 3} \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + \frac{- 74}{y \cdot 3} \cdot y = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$3 + \frac{- 74}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 + \frac{- 74}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 - \frac{74}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$3 - \frac{74}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.2

$3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{3}{3}$ .

$3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{74}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.3

Kombiniere

$3$ und

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{74}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 3 - 74}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1.5.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$\frac{9 - 74}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.5.2

Subtrahiere

$74$ von

$9$ .

$\frac{- 65}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$\frac{- 65}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.2.6.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{65}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- \frac{65}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- \frac{65}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

$- \frac{65}{3} = 2$

$- 2 y - \frac{148}{y} = - 7$

$- \frac{111}{2 y} - 5 y = 2$

$x = \frac{37}{6 y}$

Schritt 3.3

$- \frac{65}{3} = 2$ nicht wahr ist, gibt es keine Lösung.

$Keine Lösung$